Trigonometri: Cara Sederhana Membuktikan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Untuk anak-anak SMA yang masuk kelompok IPA, trigoometri adalah topik paling digemari, karena topik trigonometri selalu ikutan nimbrung pada setiap tingkatan kelas. Misalnya pada kelas X ada perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri. Di kelas XI ada rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan juga disinggung pada topik turunan yaitu turunan trigonometri. Sedangkan di kelas XII trigonometri ketemu ketika menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi trigonometri.

Sekarang yang kita diskusikan adalah trigonometri pada kelas XI yaitu rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut dan selisih dua sudut. Sebelum memasuki topik ini para siswa diharapkan sudah mengenal atau sudah memahami Trigonometri dasar pada kelas X.

Salah satu tujuan pembelajaran ini adalah para siswa dapat menghitung $ sin 75^{\circ} $, $ sin 15^{\circ} $, $ cos 75^{\circ} $ atau $ tan 15^{\circ} $

Trigonometri dasar yang sudah dikenal anak-anak, maka rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut dan selisih dua sudut sebenarnya bisa langsung digunakan. Karena rumus jumlah atau selisih dua sudut ini termasuk rumus yang sederhana, kita hanya menggantikan nilai-nilai yang ada pada rumus kepada nilai yang dinginkan.

Rumus jumlah dan selisih dua sudut pada trigonometri adalah;

• $ sin\left ( A+B \right )=sinA \cdot cosB+sinB \cdot cosA $
• $ sin\left ( A-B \right )=sinA \cdot cosB-sinB \cdot cosA $
• $ cos\left ( A+B \right )=cosA \cdot cosB-sinA \cdot sinB $
• $ cos\left ( A-B \right )=cosA \cdot cosB+sinA \cdot sinA $
• $ tan\left ( A+B \right )=\dfrac{tanA+tanB}{1-tanA\cdot tanB} $
• $ tan\left ( A-B \right )=\dfrac{tanA-tanB}{1+tanA\cdot tanB} $

Setelah melihat bentuk rumus diatas dan permasalahan yang muncul, misalnya menghitung $ sin 75^{\circ} $ kita hanya perlu sedikit kreativitas mengubah masalah $ sin 75^{\circ} $ menjadi $ sin \left ( 45^{\circ}+30^{\circ} \right ) $ lalu kita tinggal memilih bentuk rumus yang bisa kita terapkan dari keenam bentuk yang diatas.

Salah satu bentuk yang cocok adalah:
$ sin\left ( A+B \right )=sinA \cdot cosB+sinB \cdot cosA $
$ sin 75^{\circ}=sin\left ( 45^{\circ}+30^{\circ} \right ) $
$ sin 75^{\circ}=sin45^{\circ} \cdot cos30^{\circ}+sin30^{\circ} \cdot cos45^{\circ} $
$ sin 75^{\circ}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} $
$ sin 75^{\circ}=\dfrac{1}{4}\sqrt{6} + \dfrac{1}{4}\sqrt{2} $

Dengan sedikit kreativitas kita juga bisa menggunakan rumus-rumus diatas untuk mendapatkan identitas trigonometri untuk sudut rangkap misalnya $ sin\left ( 2A \right )$, $ cos\left ( 2A \right )$ atau $ tan\left ( 2A \right )$.

Kita pilih untuk mendapatkan identitas trigometri $ cos\left ( 2A \right )$ yang cocok yaitu bentuk $ cos\left ( A+B \right )=cosA \cdot cosB-sinA \cdot sinB $
$ cos\left ( 2A \right )= cos\left ( A+A \right ) $
$ cos\left ( 2A \right )=cosA \cdot cosA-sinA \cdot sinA $
$ cos\left ( 2A \right )=cos^{2}A-sin^{2}A $
atau dengan bantuan $ sin^{2}A+cos^{2}A=1 $ kita peroleh bentuk yang lain yaitu
$ cos\left ( 2A \right )=1-2sin^{2}A $ atau
$ cos\left ( 2A \right )=2cos^{2}A-1 $.

Untuk siswa masalah kita buat lebih terbuka, misal dengan caramu sendiri coba buktikan rumus penjumlahan atau selisih sudut diatas.

Berikut pembuktian rumus penjumlahan atau selisih sudut hasil kreativitas Rinaldo Parluhutan Silaban dan Elstri Sihotang siswa kelas XI, dari dua orang berbeda tetapi idenya sama.

Dari sebuah segitiga ABC siku-siku di C, kita sebut pada titik A adalah sudut A dan pada titik B adalah sudut B, sisi AB adalah sisi c, sisi BC adalah sisi a dan sisi AC adalah sisi b.

Dengan menggunakan defenisi sinus dan cosinus kita peroleh;
$ sinA= \dfrac{a}{c} =cosB $
$ cosA= \dfrac{b}{c} =sinB $
Pada segitiga ABC berlaku;
$ A+B+C=180^{\circ} $
$ A+B=90^{\circ} $
$ sin(A+B)=Sin90^{\circ} $
$ sin(A+B)=1 $
$ sin(A+B)=sin^{2}A+cos^{2}A $
$ sin(A+B)=sin A\cdot sin A+cos A\cdot cos A $
$ sin(A+B)=sin A\cdot cos B+sinB\cdot cos A $ (terbukti)

Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut diatas dan sedikit kreativitas kita bisa peroleh rumus untuk selisih dua sudut;
$ sin(A+\left (-B \right ))=sin A\cdot cos \left (-B \right )+sin\left (-B \right )\cdot cos A $
dengan menggunkan sifat sudut berelasi sewaktu kelas X kita peroleh $ sin\left ( -A \right )=-sin\left ( A \right ) $ dan $ cos\left ( -A \right )=cos\left ( A \right ) $
Sekarang kita peroleh;
$ sin\left (A-B \right )=sin A\cdot cos B-sin B\cdot cos A $ (terbukti)

Untuk $ cos\left ( A+B \right )=cosA \cdot cosB-sinA \cdot sinB $ yang kita tampilkan adalah hasil kreativitas Heryanto Simatupang, berikut hasilnya;
Pada segitiga ABC berlaku;
$ A+B+C=180^{\circ} $
$ A+B=90^{\circ} $
$ cos(A+B)=cos90^{\circ} $
$ cos(A+B)=0 $
$ cos(A+B)=\dfrac{ab}{c^{2}}-\dfrac{ab}{c^{2}} $
$ cos(A+B)=\dfrac{a}{c}\cdot \dfrac{b}{c}-\dfrac{a}{c}\cdot \dfrac{b}{c} $
$ cos(A+B)=cos B\cdot cos A-sin A\cdot sin B $
$ cos(A+B)=cos A\cdot cos B-sin A\cdot sin B $ (terbukti)

Untuk selisih sudutnya dapat kita gunakan $ sin\left ( -A \right )=-sin\left ( A \right ) $ dan $ cos\left ( -A \right )=cos\left ( A \right ) $
$ cos(A+\left (-B \right )=cos A\cdot cos \left (-B \right )-sin A\cdot sin \left (-B \right ) $
$ cos(A-B)=cos A\cdot cos B+sin A\cdot sin B $

Untuk perbandingan trigonometri jumlah dan selisih sudut pada tangen, kita coba memakai identitas trigonometri yaitu $tan\ A=\dfrac{sin\ A}{cos\ A}$.

$tan\ (A+B)=\dfrac{sin\ (A+B)}{cos\ (A+B)}$
$tan\ (A+B)=\dfrac{sin A\cdot cos B+sinB\cdot cos A}{cos A\cdot cos B-sin A\cdot sin B}$
$tan\ (A+B)=\dfrac{sin A\cdot cos B+sinB\cdot cos A}{cos A\cdot cos B-sin A\cdot sin B} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{cos A\cdot cos B}}{\dfrac{1}{cos A\cdot cos B}} $
$tan\ (A+B)=\dfrac{\dfrac{sin A\cdot cos B}{cos A \cdot cos B}+\dfrac{sinB\cdot cos A}{cos A \cdot cos B}}{\dfrac{cos A\cdot cos B}{cos A \cdot cos B}-\dfrac{sin A\cdot sin B}{cos A \cdot cos B}} $
$tan\ (A+B)=\dfrac{\dfrac{sin A}{cos A}+\dfrac{sinB}{cos B}}{1-\dfrac{sin A}{cos A} \cdot \dfrac{sin B}{cos B}}$
$tan\ (A+B)=\dfrac{tanA+tanB}{1-tan A \cdot tanB}$

Dengan cara yang hampir sama, kita bisa mendapatkan:
$tan\ (A-B)=\dfrac{tanA-tanB}{1+tan A \cdot tanB}$

Anda punya cara yang berbeda, mari berbagi😊 dan belajar😊


Via : http://www.foldersoal.com

Share this post